Funktion g
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Graph einzeichnen
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Ableitung von g
Funktion \(g\) mit
\( \quad g(x) \; = \; 2 \cdot e^{-0{,}4 \cdot (x - 10)^2} \)
\(\\\)
kann auf zwei verschiedene Arten abgeleitet werden:
-
Auflösen des Exponenten und anschließend mit der Kettenregel ableiten
\(\\[1em]\)
Variante 1
Es ist nun
\( \quad \begin{array}{ r c l } g(x) & = & 2 e^{-0{,}4 \cdot (x - 10)^2} \\[6pt] & = & 2 e^{-0{,}4 \cdot (x^2 - 20x + 100)} \\[6pt] & = & 2 e^{-0{,}4x^2 + 8x - 40} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Verkettete e-Funktion werden gemäß der Kettenregel abgeleitet mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & a \cdot e^{g(x)} \\[6pt] f'(x) & = & a \cdot g'(x) \cdot e^{g(x)} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Daraus ergibt sich
\( \quad \begin{array}{ r c l } g'(x) & = & 2 \cdot (-0{,}8x + 8) \cdot e^{-0{,}4x^2 + 8x - 40} \\[8pt] & = & 2 \cdot \big(-0{,}8 \cdot (x - 10)\big) \cdot e^{-0{,}4 \cdot (x - 10)^2} \\[8pt] & = & -1{,}6 \cdot (x - 10) \cdot e^{-0{,}4 \cdot (x - 10)^2} \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Variante 2
\(g\) ist eine zweifache Verkettung von der Form \(r\Big(s\big(t(x)\big)\Big)\) und wird mit der Kettenregel abgeleitet. Dabei sind
\( \quad \begin{array}{ r c l } t(x) & = & x -10 \\[8pt] s\big(t(x)\big) & = & -0{,}4 \cdot (x - 10)^2 \\[8pt] r\Big(s\big(t(x)\big)\Big) & = & 2e^{-0{,}4 \cdot (x - 10)^2} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Nach der Kettenregel wird die Ableitung gebildet mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } g'(x) & = & \scriptstyle{\text{innere Ableitung} \; \times \; \text{mittlere Ableitung} \; \times \; \text{äußere Ableitung}} \\[8pt] g'(x) & = & t'(x) \cdot s'\big(t(x)\big) \cdot r'\Big(s\big(t(x)\big)\Big) \end{array} \)
\(\\\)
Es gelten nun die
-
innere Ableitung: \(\qquad \qquad t'(x) \; = \; 1\)
-
mittlere Ableitung: \(\; \; \; \quad s'\big(t(x)\big) \; = \; -0{,}8 \cdot (x - 10)\)
-
mittlere Ableitung: \(\, r'\Big(s\big(t(x)\big)\Big) \; = \; 2e^{-0{,}4(x - 10)^2}\)
\(\\\)
Damit ist
\( \quad \begin{array}{ r c l } g'(x) & = & 1 \cdot \big(-0{,}8 \cdot (x - 10)\big) \cdot 2e^{-0{,}4x^2 + 8x - 40} \\[8pt] & = & 2 \cdot \big(-0{,}8 \cdot (x - 10)\big) \cdot e^{-0{,}4 \cdot (x - 10)^2} \\[8pt] & = & -1{,}6 \cdot (x - 10) \cdot e^{-0{,}4 \cdot (x - 10)^2} \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Knickfreiheit
Damit der Anschluss knickfrei ist, müssen Funktion \(f\) und Funktion \(g\) dort die gleiche Steigung haben. Es gilt also
\( \quad f'(10) \; = \; g'(10) \)
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Wir wissen, dass Punkt \(P\) der Hochpunkt der Funktion \(f\) ist und deshalb \(f'(10) \; = \; 0\) ist. Wir überprüfen, ob auch \(g(10) \; = \; 0\) ist.
\( \quad \begin{array}{ r c l } g'(10) & = & -1{,}6 \cdot (10 - 10) \cdot e^{-0{,}4 \cdot (10 - 10)^2} \\[6pt] & = & -1{,}6 \cdot 0 \cdot e^0 \\[6pt] & = & 0 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Der Anschluss ist knickfrei.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Schar von g
Graphen durch P
\( \quad \begin{array}{ r c l } g_a(10) & = & 2 \cdot e^{-a \cdot (10 - 10)^2} \\[8pt] & = & 2 \cdot e^{-a \cdot 0^2} \\[8pt] & = & 2 \cdot e^0 \\[8pt] & = & 2 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Alle Graphen verlaufen durch \(P(10|2)\).
\(\\[1em]\)
Schnittpunkt
Es gibt die zwei Funktionen \(g_{a_1}\) mit
\( \quad g_{a_1} \; = \; 2 \cdot e^{-a_1 \cdot (x - 10)^2} \)
\(\\\)
und \(g_{a_2}\) mit
\( \quad g_{a_2} \; = \; 2 \cdot e^{-a_2 \cdot (x - 10)^2} \)
\(\\\)
der Schar \(g_a\), die voneinander verschieden sind. Formal ausgedrückt:
- \(g_{a_1} \in g_a\)
- \(g_{a_2} \in g_a\)
- \(a_1 \not= a_2\)
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Die Schnittpunkte dieser beiden Funktionen sind nun stellvertretend für die Schnittpunkte zweier beliebiger Funktionen der Schar. Wir berechnen ihre Schnittpunkte.
\( \quad \begin{array}{ r c l l l } g_{a_1} & = & g_{a_2} \\[8pt] 2 \cdot e^{-a_1 \cdot (x - 10)^2} & = & 2 \cdot e^{-a_2 \cdot (x - 10)^2} && \bigl| \, :2 \\[8pt] e^{-a_1 \cdot (x - 10)^2} & = & e^{-a_2 \cdot (x - 10)^2} && \bigl| \, ln \\[10pt] ln \left(e^{-a_1 \cdot (x - 10)^2} \right) & = & ln \left(e^{-a_2 \cdot (x - 10)^2} \right) \\[12pt] -a_1 \cdot (x - 10)^2 & = & -a_2 \cdot (x - 10)^2 && \bigl| \, +a_2 \cdot (x - 10)^2 \\[8pt] a_2 \cdot (x - 10)^2 - a_1 \cdot (x - 10)^2 & = & 0 \\[8pt] (a_2 - a_1) \cdot (x - 10)^2 & = & 0 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Nach dem Nullprodukt ist der Term
\( \quad (a_2 - a_1) \cdot (x - 10)^2 \)
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gleich Null, wenn eine der beiden Faktoren Null ist oder auch beide Faktoren Null sind.
\( \quad \begin{array}{ r c l l l } a_2 - a_1 & = & 0 & \bigl| \, + a_1 \\[8pt] a_2 & = & a_1 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung und bildet keine Lösung.
\( \quad \begin{array}{ r c l l l } (x - 10)^2 & = & 0 & \bigl| \, \sqrt{\dots} \\[8pt] x - 10 & = & 0 & \bigl| \, +10 \\[8pt] x & = & 10 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Damit liegt der einzige Schnittpunkt zweier Graphen der Schar bei \(x=10\), also in dem Punkt \(P(10|2)\).
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